Question

如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km。
（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？

Answer 1

（1）作点A关于河边所在直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，则点P为水泵站的位置，此时，PA+PB的长度之和最短，即所铺设水管最短；
（2）过B点作l的垂线，过A′作l的平行线，设这两线交于点C，则∠C=90°。
        又过A作AE⊥BC于E，依题意BE=5，AB=13，
        ∴ AE²=AB²-BE²=13²-5²=144             ∴ AE=12
        由平移关系，A′C=AE=12， 
        Rt△B A′C中，∵ BC=7+2=9，A′C=12，     ∴ A′B′=A′C²+BC²=9²+12²=225 ，
        ∴ A′B=15．∵ PA=PA′， ∴ PA+PB=A′B=15         
        ∴ 1500×15=22500（元）