Question

如图，反比例函数y=

k

x

（x＜0）图象上有两点A和B，点C在x轴上，AC⊥BC，AC=BC，B到x轴距离是1，点A到y轴距离是2+

3

，求∠1的度数．

Answer 1

考点：反比例函数综合题,全等三角形的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：

分析：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，易证△FBC≌△ECA，则有FC=EA，BF=CE．设FC=x，由题可得到点A、B的坐标（用含有x的式子表示），依据“点A、B都在反比例函数y=

k

x

（x＜0）图象上”建立关于x的方程，求出x，然后解Rt△BFC就可求出∠1的度数．

解答：解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，如图，
则有∠BFC=∠CEA=90°．
∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，
∴∠FBC=90°-∠FCB=∠ECA．
在△FBC和△ECA中，

∠FBC=∠ECA ∠BFC=∠CEA BC=CA

，
∴△FBC≌△ECA，
∴FC=EA，BF=CE．
∵B到x轴距离是1，
∴CE=BF=1．
设FC=x，则EA=x．
∵点A到y轴距离是2+

3

，
∴点A的坐标为（-2-

3

，x），
点B的坐标为（-2-

3

-1-x，1）．
∵点A、B都在反比例函数y=

k

x

（x＜0）图象上，
∴（-2-

3

）x=（-2-

3

-1-x）×1，
即（2+

3

）x=2+

3

+1+x，
整理得：（1+

3

）x=3+

3

，
解得：x=

3

．
在Rt△BFC中，
tan∠1=

BF

FC

=

1

3

=

3

3

，
∴∠1=30°．

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质、解一元一次方程、三角函数等知识，构造K型全等（△FBC≌△ECA）是解决本题的关键．