Question

17．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BE、CD相交于点O，且OB=OC，
（1）求证：△ABC是等腰三角形；
（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△BDC≌△CEB（AAS），推出∠DBC=∠ECB，即可证明AB=AC；
（2）连接OA，只要证明△ADO≌△AEO（HL），推出∠DAO=∠EAO即可解决问题；

解答 （1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB
∵BE、CD是两条高，
∴∠BDC=∠CEB=90°．
又∵BC=CB，
∴△BDC≌△CEB（AAS），
∴∠DBC=∠ECB，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形．

（2）点O在∠BAC的角平分线上．连接AO．
∵△BDC≌△CEB，
∴DC=EB，
∵OB=OC，
∴OD=OE，
又∵∠ADC=∠AEB=90°，AO=AO，
∴△ADO≌△AEO（HL），
∴∠DAO=∠EAO，
∴点O在∠BAC的角平分线上．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．