阅读下列材料：
在平面直角坐标系中，若点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），则P₁、P₂两点间的距离为 $数学公式$ ．例如：若
P₁（3，4）、P₂（0，0），则P₁、P₂两点间的距离为 $数学公式$ ．
设⊙O是以原点O为圆心，以1为半径的圆，如果点P（x，y）在⊙O上，那么有等式 $数学公式$ ，即x²+y²=1成立；反过来，如果点P（x，y）的坐标满足等式x²+y²=1，那么点P必在⊙O上，这时，我们就把等式x²+y²=1称为⊙O的方程．
在平面直角坐标系中，若点P₀（x₀，y₀），则P₀到直线y=kx+b的距离为 $数学公式$ ．
请解答下列问题：
（I）写出以原点O为圆心，以r（r＞0）为半径的圆的方程．
（II）求出原点O到直线 $数学公式$ 的距离．
（III）已知关于x、y的方程组： $数学公式$ ，其中n≠0，m＞0．
①若n取任意值时，方程组都有两组不相同的实数解，求m的取值范围．
②当m=2时，记两组不相同的实数解分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
求证： $数学公式$ 是与n无关的常数，并求出这个常数．

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