Question

19．如图，在△ABC中，D是BC边中点，DE⊥DF交AB于点E，DF交AC于点F．若CF²+BE²=EF²，求证：AB²+AC²=BC²．

Answer 1

分析 延长FD至G，使DG=DF，连接BG、EG，由SAS证明△BDG≌△CDF，得出CF=BG，∠GBD=∠C，由线段垂直平分线的性质得出EG=EF，由已知条件得出BG²+BE²=EF²，证出∠EBG=90°，得出∠ABC+∠C=90°，因此∠A=90°，由勾股定理即可得出结论．

解答 证明：延长FD至G，使DG=DF，连接BG、EG，如图所示，
∵D是BC边中点，
∴BD=CD，
在△BDG和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}&{\;}\\{∠BDG=∠CDF}&{\;}\\{DG=DF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴CF=BG，∠GBD=∠C，
∵DE⊥DF，DG=DF，
∴EG=EF，
∵CF²+BE²=EF²，
∴BG²+BE²=EF²，
∴△BEG是直角三角形，∠EBG=90°，
即∠ABC+∠GBD=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠A=90°，
∴AB²+AC²=BC²．

点评 本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理等知识；本题综合性强，有一定难度，需要作辅助线构造三角形全等才能得出结论．