Question

11．如图，在?ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长线上，求证：AE=CF．

Answer 1

分析 由平行四边形的性质得出AB∥CD，AB=CD，由平行线的性质得出得出∠BAC=∠DCA，证出∠EAB=∠FCD，∠BEA=∠DFC=90°，由AAS证明△BEA≌△DFC，即可得出结论．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴180°-∠BAC=180°-∠DCA，
∴∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
在△BEA和△DFC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEA=∠DFC}&{\;}\\{∠EAB=∠FCD}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEA≌△DFC（AAS），
∴AE=CF．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．