Question

18．如图1，在线段BE上取一点C，分别以CB，CE为腰作等腰直角△BCA和等腰直角△DCE，连接BD和AE．

（1）请判断线段BD和线段AE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若B，C，E 三点不共线，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）依据等腰直角三角形的性质可得到BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD=AE；
（2）依据等腰直角三角形的性质可得到BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°，然后利用等式的性质证明∠BCD=∠ACE，然后依据SAS证明△BCD≌△ACE，接下来，依据全等三角形的性质可得到BD=AE．

解答 解：（1）∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°．
在△BCD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD=AE．
（2）成立．
∵△BCA和△DCE均为等腰直角三角形，
∴BC=AC，DC=CE，∠BCD=∠ACE=90°．
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE．
在△BCD和△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE．
∴BD=AE．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．