Question

20．求半径为2的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长、边心距、中心角和面积．将结果填写在下表中：

圆的内接正多边形	边长	边心距	中心角	面积
正三角形	$\sqrt{3}$	1	120°	3$\sqrt{3}$
正方形	2$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	90°	8
正六边形	2	$\sqrt{3}$	60°	6$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 在正△ABC中，连接OB、OC、作OM⊥BC于M，则∠BOC=120°，BM=CM，由等腰三角形的性质得出∠BOM=60°，∠OBM=30°，求出OM=$\frac{1}{2}$OB=1，BM=$\sqrt{3}$，即可求出面积；
在正方形ABCD中，连接OB、OC、作OM⊥BC于M，则∠BOC=90°，BM=CM，△OBC是等腰直角三角形，得出BC=2$\sqrt{2}$，OM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，求出正方形ABCD的面积=BC²即可；
在正六边形中，连接OA、OB，作OM⊥AB于M，则∠OAB=60°，证出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=2，AM=BM=1，OM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，求出正六边形的面积即可．

解答 解：在半径为2的圆的内接正三角形ABC中，如图1所示：
连接OB、OC、作OM⊥BC于M，
则∠BOC=$\frac{360°}{3}$=120°，BM=CM，
∵OB=OC，
∴∠BOM=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=$\frac{1}{2}$OB=1，BM=$\sqrt{3}$OM=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BM=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=3$\sqrt{3}$；
在半径为2的圆的内接正方形ABCD中，如图2所示：
连接OB、OC、作OM⊥BC于M，
则∠BOC=$\frac{360°}{4}$=90°，BM=CM，△OBC是等腰直角三角形，
∴BC=$\sqrt{2}$OB=2$\sqrt{2}$，
∴OM=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
∴正方形ABCD的面积=BC²=（2$\sqrt{2}$）²=8；
在半径为2的圆的内接正六边形中，如图3所示：
连接OA、OB，作OM⊥AB于M，
则∠OAB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2，AM=BM=1，
∴OM=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}$，
∴正六边形的面积=6×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$；
结果如下表：

圆的内接正多边形	边长	边心距	中心角	面积
正三角形	$\sqrt{3}$	1	120°	3$\sqrt{3}$
正方形	2$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	90°	8
正六边形	2	$\sqrt{3}$	60°	6$\sqrt{3}$

故答案为2$\sqrt{3}$，1，120°，3$\sqrt{3}$；2$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，90°，8；2，$\sqrt{3}$，60°，6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正三角形的判定与性质、正方形的性质、正六边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正多边形的性质是解决问题的关键．