Question

如图所示，抛物线y=-（x-m）²的顶点为A，其中m＞0．
（1）已知直线l：，将直线l沿x轴向______（填“左”或“右”）平移______个单位（用含m的代数式）后过点A；
（2）设直线l平移后与y轴的交点为B，若动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）若经过点A，需经过（m，0），由图中可以看出应向右平移m个单位；
（2）求得平移后相应的直线解析式以及与y轴的交点，易得△OAB的2直角边的比为：1，那么以P、Q、A为顶点的三角形的两直角边的比也为：1，分点Q处和点P处为直角求得相应用m表示的坐标，代入二次函数解析式求得相应值即可．
解答：解：（1）直线l：，将直线l沿x轴向右平移m个单位后过点A；

（2）由题意点A（m，0），
将其代入，
得（3分）
∴此时直线l的解析式：
，点B（0，-），
以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2，共有以下四种情况，
①∠PQA=90°，
当时
可得
∴，
代入抛物线解析式得：

解得
∴
②∠PQA=90°，
当时
可得
∴，
代入抛物线解析式得：
，
解得
∴
③∠QPA=90°，
当时，
可得，
过P作PH⊥AQ于H，则，
∴，
代入抛物线解析式得：
解得m=1
∴
④∠QPA=90°，
当时，
可得，
过P作PH⊥AQ于H，则，
∴，
代入抛物线解析式得：

解得
∴
综上，符合条件的点共有四个：（，-），（-，-3），（1-，-3），（，-）．
点评：用到的知识点为：相似三角形的对应边成比例，关键是得到原直角三角形的特性，注意分情况进行讨论．