Question

25、如图1，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）△ABD与△CAE全等吗？BD与AE、AD与CE相等吗？为什么？
（2）BD、DE、CE之间有什么样的等量关系（写出关系式即可）
（3）若直线AE绕A点旋转，如图2，其它条件不变，那么BD与DE、CE的关系如何？说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用AAS判定△ABD≌△CAE，根据全等三角形的对应边相等可以求得BD=AE，AC=CE；
（2）因为BD=AE，AD=CE，AE=AD+DE=CE+DE所以BD=DE+CE；
（3）因为BD=AE，AD=CE，DE=AE+AD=BD+CE，所以BD=DE-CE．

解答：（1）解：BD=AE，AD=CE．
理由：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∠BAC=90°，
∴∠BDA=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠DBA=∠EAC，
∵AB=AC，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE；

（2）解：BD=DE+CE．
理由：∵BD=AE，AD=CE
∴AE=AD+DE=CE+DE
∴BD=DE+CE；

（3）解：BD=DE-CE．
证明：同（1）可证明△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE
∵DE=AE+AD=BD+CE
∴BD=DE-CE．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．