Question

3．（1）求上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角．
（2）在上午10时30分到11时30分之间，时针和分针何时成直角？
（3）在0时到12时之间，钟面上的时针与分针在什么时候成60°的角？试尽可能多地找出答案，又秒针与时针共有几次成60°的角？

Answer 1

分析 （1）根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案；
（2）利用时针和分针所成角度的和与差是90°列出方程解答即可；
（3）分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为每分钟$\frac{1}{12}$个单位长度，将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从0时开始）开始同向而行，要求两者相距10个或50单位长度所用的时间，由此列出方程解答即可．

解答 解：（1）钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，
上午10时30分，钟面上时针和分针的夹角是4.5个等份，因而时针和分针的夹角是4.5×30=135°；

（2）时针一小时即60分钟转30度，一分钟转动0.5°，分针一小时转360度，一分钟转6度，
可以设从上午10时30分再经过x分钟，时针和分针成直角，
列方程得到：135-6x+0.5x=90，
解得x=8$\frac{2}{11}$，即10时38$\frac{2}{11}$分时，时针和分针成直角；
11时时针与分针的夹角是30度，设再过y分钟，时针与分针的夹角是直角，
根据题意得到：30+6y-0.5y=90，解得y=10$\frac{10}{11}$，
则当在11时10$\frac{10}{11}$分时，时针和分针成直角．

（3）设从0时开始，过x分钟后分针与时针成60°的角，此时分针比时针多走了n圈（n=0，1，2，…，11），
则x-$\frac{x}{12}$=60n+10或x-$\frac{x}{12}$=60n+50，
解得x=$\frac{12}{11}$（60n+10）或x=$\frac{12}{11}$（60n+10）．
分别令n=0，1，2，3，…，11，即得本题的所有解（精确到秒），共22个：
0：10：55    1：16：22    2：21：49    3：27：16    4：32：44    5：38：11
6：43：38    7：49：05    8：54：33    10：00：00    11：05：27
0：54：33    2：00：00    3：05：27    4：10：55    5：16：22    6：21：49
7：27：16    8：32：44    9：38：11    10：43：38    11：49：05
在12个小时内，秒针相对于时针走了60×12-1=719圈，所以秒针与时针共有719×2=1438次成60°的角．

点评 此题考查一元一次方程的实际运用，搞清利用起点时间时针和分针的位置关系是解决问题的关键．