Question

如图，已知直角三角形ABC，∠C=90°．
（1）试用直尺和圆规完成下列作图：①作三角形ABC的中线CE；②作△ACD，使它与△ACE关于直线AC对称．
（2）求证：（1）中的四边形ADCE是菱形；
（3）求证：BC=ED．

Answer 1

考点：作图—复杂作图,全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用线段垂直平分线的作法得出AB的中点，进而得出中线CE，再利用作三角形全等于已知三角形作法得出即可；
（2）利用直线对称性得出△ACD≌△ACE，进而得出EA=EC=DA=DC，求出即可；
（3）利用平行四边形的判定得出四边形BCDE为平行四边形，进而得出答案．

解答：（1）解：如图所示：

（2）证明：∵∠C=90°，点E为AB的中点，
∴EA=EC，
∵△ACD与△ACE关于直线AC对称．
∴△ACD≌△ACE，
∴EA=EC=DA=DC，
∴四边形ADCE是菱形；

（3）证明：∵ADCE是菱形，
∴CD∥AE且CD=AE，
∵AE=EB∴CD∥EB且CD=EB
∴四边形BCDE为平行四边形，
∴DE=BC．

点评：此题主要考查了菱形的判定和证明线段相等的常用方法以及画图的规范和证明的严密性，正确把握菱形的判定是解题关键．