Question

（本题满分12分）定义：如图1，射线OP与原点为圆心，半径为1的圆交于点P，记∠xOP=α，则点P的横坐标叫做角的余弦值，记作；点P的纵坐标叫做角的正弦值，记作；纵坐标与横坐标的比值叫做角的正切值，记作．

如：当时， 点P的横坐标为=，纵坐标为=即P（，）．

又如：在图2中，（为锐角）， PN轴，QM轴，易证△OQM≌△OPN， 则Q点的纵坐标等于点P的横坐标，得= ．

解决以下四个问题：

（1）当时，求点P的坐标；

（2）当是锐角时，则+ 1（用>或<填空），= ；

（3）求证：（为锐角）；

（4）求证：tan=（为锐角）；

Answer 1

（1）（，）；（2）＞，1；（3）证明见试题解析；（4）证明见试题解析．

【解析】

试题分析：（1）点P的横坐标为cos60°，纵坐标为sin60°，从而可得点P的坐标；

（2）结合图形可在△POM中，表示出cosα+sinα，继而与半径长1，比较即可；根据勾股定理可得=1；

（3）画出图形，根据cosα及sin（90°+α）表示的实际意义，可得出结论；

（4）构造图形，如图，分别表示出tan，及表示的线段比，继而可得出结论．

试题解析：（1）点P的坐标为（cos60°，sin60°）=（，）；

（2）如图1所示：∠MOP=α，∵半径为1，∴cosα==OM，sinα==PM，

∴cosα+sinα=OM+PM＞OP=1；

∴=；

（3）如图2所示：∠MOP=α，点P的纵坐标为sin（90°+α），值为OM的长度，cosα==OM，∴sin（90°+α）=cosα；

（4）如图3所示：∠AOQ=∠POQ=，∠AOP=α，则cosα==OM，sinα==PM，∴==tan∠APM，∵OQ是∠AOP的角平分线，∴OQ⊥AP，∴∠AOQ+∠OAP=90°，∵∠APM+∠OAP=90°，∴∠AOP=∠APM，即=∠APM，∴tan= tan∠APM =．

考点：圆的综合题．