Question

如图，已知△AEO∽△ABC，△AOF∽△ACD，那么四边形ABCD与四边形AEOF相似吗？请说明你的理由．

Answer 1

考点：相似多边形的性质,相似三角形的性质

专题：

分析：先由△AEO∽△ABC，根据相似三角形的性质得出∠2=∠1，∠4=∠3，

EO

BC

=

AO

AC

=

AE

AB

，同理由△AOF∽△ACD，得出∠6=∠5，∠8=∠7，

OF

CD

=

AO

AC

=

AF

AD

，于是可得∠2+∠6=∠1+∠5，即∠EOF=∠BCD，

EO

BC

=

AE

AB

=

OF

CD

=

AF

AD

，又∠EAF=∠BAD，∠4=∠3，∠8=∠7，那么四边形ABCD与四边形AEOF中，所有的对应角相等，所有对应边的比相等，根据相似多边形的定义可知这两个四边形相似．

解答：解：四边形ABCD与四边形AEOF相似，理由如下：
∵△AEO∽△ABC，
∴∠2=∠1，∠4=∠3，

EO

BC

=

AO

AC

=

AE

AB

，
∵△AOF∽△ACD，
∴∠6=∠5，∠8=∠7，

OF

CD

=

AO

AC

=

AF

AD

，
∴∠2+∠6=∠1+∠5，即∠EOF=∠BCD，

EO

BC

=

AE

AB

=

OF

CD

=

AF

AD

．
在四边形AEOF与四边形ABCD中，
∵∠EAF=∠BAD，∠4=∠3，∠EOF=∠BCD，∠8=∠7，

EO

BC

=

AE

AB

=

AF

AD

=

OF

CD

，
∴四边形AEOF∽四边形ABCD，
即四边形ABCD与四边形AEOF相似．

点评：本题考查了相似三角形的性质及相似多边形的定义，用到的知识点：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．