Question

18．如图，已知点E、点F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD上的中点，AC是
∠DAE的角平分线，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）当△ABC满足条件AB=AC时，四边形AECF是正方形，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形AECF是菱形，只需推知AE=EC；
（2）菱形的一个内角为直角时，该菱形是正方形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
又∵点E、点F分别是BC、AD的中点

∴AF=$\frac{1}{2}$AD，EC=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2．
又∵AC是∠DAE的角平分线，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AE=EC，
∴平行四边形AECF是菱形；

解：（2）当△ABC满足条件AB=AC时，四边形AECF是正方形．
理由：∵点E是BC的中点，
∴AE是△ABC的中线．
又∵AB=AC，
∴AE⊥BC，
∴∠AEC=90°．
又∵四边形AECF是菱形，
∴四边形AECF是正方形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及正方形的判定，证明四边形AFCE是平行四边形是解决问题的关键．