Question

16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，如图，由OA=OC得到∠2=∠3，由AC平分∠DAB得到∠1=∠2，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，则OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接BC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，由于∠1=∠2，则可判断△ADC∽△ACB，然后利用相似比可计算出AC的长．

解答 （1）证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD为⊙O的切线；
（2）解：连接BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，
而∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴AD：AC=AC：AB，即3：AC=AC：4，
∴AC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．