Question

17．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC=1，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为$\frac{\sqrt{2}}{4}$或$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由勾股定理求出BC，分两种情况：①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，∠AFC=90°，由等腰直角三角形的性质得出BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$即可；
②当CF=CA=1时，BF=BC-CF=$\sqrt{2}$-1，得出BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$即可．

解答 解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=1，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
分两种情况：
①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，
∴∠AFC=90°，
∴AF⊥BC，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵直线l垂直平分BF，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
②当CF=CA=1时，BF=BC-CF=$\sqrt{2}$-1，
∵直线l垂直平分BF，
∴BD=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$或$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质是解决问题的关键，注意分类讨论．