Question

20．己知：Rt△OAB在直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（4，2），P为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把Rt△OAB分割成两部分，问：点C在什么位置时，分割得到的三角形与Rt△OAB相似？要求在图上画出所有符合要求的线段PC，并求出相应的点C的坐标．

Answer 1

分析 由于C点不确定，故分△OPC∽△OBA，△BPC∽△BOA，△OPC∽△OAB三种情况进行讨论．

解答 解：∵点B的坐标为（4，2），
∴OA=4，AB=2，OB=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，OP=$\sqrt{5}$．
如图，当△OPC∽△OBA时，
∵$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{PC}{2}$=$\frac{OC}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴PC=1，OC=2，
∴C₁（2，0）；
当△BPC∽△BOA时，
∵$\frac{PB}{OB}$=$\frac{BC}{OA}$=$\frac{PC}{OA}$，即$\frac{1}{2}$=$\frac{BC}{2}$=$\frac{PC}{4}$，解得BC=2，
∴AC=1-1=1，
∴C₂（4，1）；
当△OPC∽△OAB时，
∴$\frac{OP}{OA}$=$\frac{OC}{OB}$，即$\frac{\sqrt{5}}{4}$=$\frac{OC}{2\sqrt{5}}$，解得OC=2.5，
∴C₃（2.5，0）；
综上所述，C点坐标为：（2，0）或（4，1）或（2.5，0）．

点评 本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．