Question

在平面直角坐标系xOy中，已知 A（3，0）、B（1，2），直线l围绕△OAB的顶点A旋转，与y轴相交于点P．探究解决下列问题：
（1）在图1中求△OAB的面积．
（2）如图1，当直线l旋转到与边OB相交时，试确定点P的位置，使顶点O、B到直线l的距离之和最大，并简要说明理由．
（3）当直线l旋转到与y轴的负半轴相交时，在图2中试确定点P的位置，使顶点O、B到直线l的距离之和最大，画出图形并求出此时P点的坐标．（点P位置的确定只需作出图形，不用证明）．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）如图1，过B点作BE⊥OA，垂足为E．根据点的坐标易求BE=2，OA=3，则由三角形的面积公式进行解答即可；
（2）如图2，过A点作直线l⊥OB于点F，l与y轴的交点即为所确定的P点位置．过点O作OD⊥l于D，过点B作BC⊥l于C．利用三角形的面积公式得到S_△OAB=

1

2

FA（OD+BC）=3为定值，FA取最小值即可．由垂线段最短入手进行解答；
（3）如图3所示，作辅助线构建全等三角形△ABE≌△AGH（AAS），由全等三角形的对应边相等求得相关线段的长度，易推知tan∠OPA=tan∠HOG=

2

5

，利用锐角函数的定义来推知P（0，-

15

2

）．

解答：解：（1）如图1，过B点作BE⊥OA，垂足为E．
∵B（1，2），
∴BE=2，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∴S_△OAB=

1

2

OA•BE=

1

2

×3×2=3；

（2）如图2，过A点作直线l⊥OB于点F，l与y轴的交点即为所确定的P点位置．
理由如下：如图2所示，过点O作OD⊥l于D，过点B作BC⊥l于C．
∵S_△OAB=

1

2

FA•OD+

1

2

FA•BC=

1

2

FA（OD+BC）=3为定值．
要使点O、B到直线l的距离之和最大，即OD+BC最大，只要使FA最小，
∴过A点作直线l⊥OB于点F，此时FA即为最小值（此时，点F、D、C重合）．
∴l与y轴的交点即为所确定的P点位置；

（3）如图3所示，延长BA到G点，使BA=AG，联结OG，则S_△OAG=S_△OAB，
旋转直线l至l⊥OG于点F，与y轴的交点即为所确定的P点，过点B作BE⊥OA于点E，
∵B（1，2），A（3，0），
∴EB=EA=2．
过点G作GH⊥x轴于点H，
∴△ABE≌△AGH（AAS），
∴AH=2，GH=2，
∴OH=5，
∴tan∠HOG=

2

5

，
又∵直线l⊥OG于点F，
∴∠OPA=∠HOG，
∴tan∠OPA=tan∠HOG=

2

5

，
∴

OA

OP

=

2

5

，
∴

3

OP

=

2

5

，
∴OP=

15

2

，
∴P（0，-

15

2

）．

点评：本题考查了几何变换综合题．熟练掌握坐标与图形的性质、三角形的面积公式、三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质等是解题的关键．