Question

如图，在矩形ABCD中，AD=12cm，AB=acm，三角形的直角形顶点P在线段BC上，一直角边与线段AD的交点为Q，另一直角边与线段AB的交点为E，点P从C开始向B以2cm/s的速度运动，点Q从D开始以1cm/s的速度向点A运动，假设P、Q两点开始运动，运动时间为ts．
（1）当t=1，a=

15

时，PQ的长是多少？
（2）当a=4时，点Q运动多长时间点E与A重合？
（3）当a=5时，①设BE的长为y cm，试求y与t之间的函数关系式．②是否存在某个时刻，使点E与点A重合？若存在，求出点P、点Q的运动时间；若不存在，请求出AE的最小值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）过点Q作QH⊥BC于H，利用勾股定理求出PQ的长即可；
（2）当点E与点A重合时，得出△BAP∽△HPQ，进而利用比例式求出即可；
（3）首先得出△BEP∽△HPQ，进而得出y与x的关系式，进而利用二次函数最值求法得出即可．

解答：解：（1）过点Q作QH⊥BC于H，
则PH=PC-HC=t=1，
PQ=

QH2+PH2

=

( 15 )2+12

=4；

（2）当点E与点A重合时，
∵∠EPB+∠QPH=90°，∠EPB+∠BEH=90°，
∴∠QPH=∠BEP，
又∵∠B+∠QHP=90°
∴△BAP∽△HPQ
∴

BA

HP

=

BP

HQ

，
∴

4

t

=

12-2t

4

，
解得：t=2或4，
∴点Q运动2秒或4秒时，点E与点A重合．

（3）①由（2）知△BEP∽△HPQ
∴

BE

HP

=

BP

HQ

，
∴

y

t

=

12-2t

5

，
∴y=-

2

5

t2+

12

5

t，
②假设存在点E与点A重合，则y=5，
∴-

2

5

t2+

12

5

t=5 
∴2t²-12t+25=0，
∴△＜0，此方程无解．
∴不存在点E与点A重合
AE=AB-BE=5+

2

5

t2-

12

5

t=

2

5

（t²-6t+9）=

2

5

（y-3）²+

7

5

∴当t=3时，AE最小=

7

5

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数最值求法和四边形综合等知识，熟练应用相似三角形的判定与性质是解题关键．