Question

类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．
原题：如图1，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，则BD=

 

．
（1）尝试探究：如图2，在⊙O中，MN是直径，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，点E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1：3，则CD=

 

（试写出解答过程）．
（2）类比延伸：利用图3，再探究，当A、C两点分别在直径MN两侧，且AB≠CD，AB⊥MN于点B，CD⊥MN于点D，∠AOC=90°时，则线段AB、CD、BD满足的数量关系为

 

．
（3）拓展迁移：如图4，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（m，6），B（n，1）两点（其中0＜m＜3），且以y轴为对称轴，且∠AOB=90°，①求mn的值；②当S_△AOB=10时，求抛物线的解析式．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）利用AAS证明△AOB≌△OCD，即可得出答案；
（2）证明△ABE∽△EDC，利用对应边成比例，可解得CD的长度；
（3）先画出图形，然后按照（1）的思路，可得出结论；
（4）①作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点，证明△CBO∽△DOA，可得mn的值；②由①得，OA=mBO，结合△AOB的面积可表示出mBO²=20，再由OB²=BC²+OC²=n²+1，代入mn的值，可得m、n的值．

解答：解：（1）∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABO=∠ODC=90°，∠BAO+∠AOB=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠DOC+∠AOB=90°
∴∠BAO=∠DOC，
在△AOB和△OCD中，
∵

∠BAO=∠DOC ∠ABO=∠ODC OA=OC

，
∴△AOB≌△OCD（AAS），
∴OD=AB=3，OB=CD=4，
∴BD=OB+OD=7．

（2）尝试探究：∵AB⊥MN，CD⊥MN，
∴∠ABE=∠CDE=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEC=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠DEC，
∴△ABE∽△EDC，
∴

CD

BE

=

DE

AB

，
∵AB=3，BD=8，BE：DE=1：3，
∴BE=2，DE=6，
∴

CD

2

=

6

3

，
∴CD=4．
（3）类比延伸：
如图3（a）可证△ABO≌△ODC，从而可得：CD=AB+BD；
如图3（b）可证△ABO≌△ODC，AB=CD+BD．



（4）拓展迁移：①作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点，
∵A，B点坐标分别为（m，6），（n，1），
∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6，
又∵∠AOB=90°，
∴∠BCO=∠ODA=90°，∠OBC=∠AOD，
∴△CBO∽△DOA，
∴

CB

DO

=

CO

DA

=

BO

OA

，
∴

1

m

=

-n

6

，
∴mn=-6，
②由①得，OA=mBO，
又∵S_△AOB=10，
∴

1

2

OB•OA=10，
即OB•OA=20，
∴mBO²=20，
又∵OB²=BC²+OC²=n²+1，
∴m（n²+1）=20，
∵mn=-6，
∴m=2，n=-3，
∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1），代入得抛物线解析式为y=-x²+10．

点评：本题考查了圆的综合，涉及了待定系数法求抛物线解析式、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，解答本题多次用到等角的余角相等这一知识点，同学们注意将所学知识融会贯通．