Question

已知△中，（如图），点到两边的距离相等，且．
（1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△的形状，并说明理由；
（2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积；
（3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由．

Answer 1

（1）依题意，点既在的平分线上，又在线段的垂直平分线上．
如图1，作的平分线，作线段的垂直平分线，与的   
交点即为所求的点。
                       
是等腰直角三角形．                  
理由如下：过点分别作．，垂足为、（如图2）．

∵平分，．，垂足为、，
∴．
又∵ ，
∴ ≌．
∴ ．                                                    
∵，，，
∴， 从而．                                       
又 
∴ 是等腰直角三角形．
（2）如图2，在中，，，，
∴．                                                         
由≌，≌，可得，．
∴．                        
在中，，，，
∴．   
∴．                        
所以的周长为：．                      
因为的面积=的面积解析