题目内容

如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BD平分∠OBA，交x轴于D点．

（1）连接AB的中点M交BD于N，求证：ON=OD．
（2）如图2，过点A作AE⊥BD，垂足为E，猜想AE与BD间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在x轴上有一个动点P（在A点的右侧），连接PB，并作等腰直角三角形BPF，其中∠BPF=90°，连接FA并延长交y轴于G点，当P点在运动时，OG的长是否发生改变？若改变，请求出它的变化范围；若不变，求出它的长度．

（1）证明：∵直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，
当x=0时，y=4，
当y=0时，-x+4=0，
解得x=4，
∴点A、B的坐标是A（4，0），B（0，4），
∴△AOB是等腰直角三角形，
∵点M是AB的中点，
∴OM⊥AB，
∴∠MOA=45°，
∵直线BD平分∠OBA，
∴∠ABD= $\text{[math]}$ ∠ABO=22.5°，
∴∠OND=∠BNM=90°-∠ABD=90°-22.5°=67.5°，
∠ODB=∠ABD+∠BAD=22.5°+45°=67.5°，
∴∠OND=∠ODB，
∴ON=OD（等角对等边）；

（2）答：BD=2AE．
理由如下：延长AE交BO于C，
∵BD平分∠OBA，
∴∠ABD=∠CBD，
∵AE⊥BD于点E，
∴∠AEB=∠CEB=90°，
在△ABE≌△CBE中， $\text{[math]}$ ，

∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE，
∴AC=2AE，
∵AE⊥BD，
∴∠OAC+∠ADE=90°，
又∠OBD+∠BDO=90°，∠ADE=∠BDO（对顶角相等），
∴∠OAC=∠OBD，
在△OAC与△OBD中， $\text{[math]}$ ，
∴△OAC≌△OBD（ASA），
∴BD=AC，
∴BD=2AE；

（3）解：OG的长不变，且OG=4．
过F作FH⊥OP，垂足为H，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∵∠BPF=90°，
∴∠BPO+∠FPH=90°，
∴∠FPH=∠BPO，
∵△BPF是等腰直角三角形，
∴BP=FP，
在△OBP与△HPF中， $\text{[math]}$ ，
∴△OBP≌△HPF（AAS），
∴FH=OP，PH=OB=4，
∵AH=PH+AP=OB+AP，OA=OB，
∴AH=OA+OP=OP，
∴FH=AH，
∴∠GAO=∠FAH=45°，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∴OG=OA=4．
分析：（1）根据直线解析式求出点A、B的坐标，然后得出△AOB是等腰直角三角形，再根据角平分线的定义求出∠ABD=22.5°，根据等腰三角形三线合一的性质OM⊥AB，然后根据直角三角形两锐角互余的性质与三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OND=67.5°，∠ODB=67.5°，利用等角对等边得到ON=OD；
（2）延长AE交BO于C，得△ABE≌△CBE，得到AC=2AE，再证△OAC≌△OBD得到BD=AE，从而得到BD=2AE；
（3）作FH⊥OP，垂足为H，利用角角边定理可以证明△OBP与△HPF全等，根据全等三角形对应边相等可得FH=OP、PH=OB=4，再证AH=FH，∠FAH=∠OAG=45°，OG=OA=4．
点评：本题综合考查了一次函数，全等三角形的判定与全等三角形的性质，以及等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，等腰三角形三线合一的性质，综合性较强，求解比较繁琐，但只要仔细分析，认真求解也不难解决，难度较大．