Question

14．如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC，如图①，将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②；然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，得到图③；若AB=k•AC（k＞1），按上述操作方法，得到图④．下列结论：
（1）在图②中，若AB=AC，则BD=CE  
（2）在图③中，若AB=AC，则AM=AN  
（3）在图③中，若AB=AC，则∠MAN=∠BAC  
（4）在图④中，AM=kAN、∠MAN=∠BAC 
（5）在图④中，△ADE∽△AMN．
其中正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 （1）根据题意和旋转的性质可知△AEC≌△ADB，所以BD=CE；
（2）（3）根据题意可知∠CAE=BAD，AB=AC，AD=AE，所以得到△BAD≌△CAE，在△ABM和△ACN中，DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，可证△ABM≌△ACN，所以AM=AN，即∠MAN=∠BAC．
（4）（5）直接类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC，△ADE∽△AMN．

解答 解：∵旋转的性质可知△AEC≌△ADB，
∴BD=CE，故（1）正确；
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠CAE=∠BAD，
在△BAD和△CAE中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠CAE=∠BAD}\\{AC=AB}\end{array}\right.$
∴△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠ACE=∠ABD，
∵DM=$\frac{1}{2}$BD，EN=$\frac{1}{2}$CE，
∴BM=CN，
在△ABM和△ACN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠ACN=∠ABM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴AM=AN，故（2）正确；
∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC，故③正确；
类比（1）中结果可知AM=k•AN，∠MAN=∠BAC，△ADE∽△AMN．故（3）（4）（5）正确；
故选：D．

点评 本题考查三角形全等的判定方法和性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目．