Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=

2

3

，∠A=30°．
（1）∠BOC=

 

°；
（2）求劣弧

AC

的长．

Answer 1

分析：（1）利用圆周角定理得出∠BOC的度数；
（2）首先利用重心的性质求出OE的长，再求出∠AOC的度数，利用弧长计算公式求出即可．

解答：解：（1）∵∠A=30°，
∴∠BOC=60°；

（2）延长OP交AC于E，
∵P是△OAC的重心，OP=

2

3

∴OE=1，
且E是AC的中点，
∵OA=OC，
∴OE⊥AC．
在Rt△OAE中，
∵∠A=30°，OE=1，
∴OA=2，
∴∠AOE=60°，
∴∠AOC=120°，
∴

AC

=

4

3

π．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及三角形的重心和弧长的计算公式等知识，求出OE的长度以及∠AOC的度数是解决问题的关键．