Question

8．如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、E（3，0）两点，与y轴交于点B（0，3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积；
（3）当点D在第一象限的抛物线上运动时，（2）中四边形AEDB的面积是否最大？若是，请说明理由；若不是，请求出四边形AEDB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线与x轴的两个交点可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点B的坐标代入抛物线解析式中求出a值即可；
（2）连接OD，将抛物线解析式变形为顶点式即可得出点D的坐标，利用三角形的面积结合S_{四边形AEDB}=S_△AOB+S_△OBO+S_△OED即可得出结论；
（3）连接BE，过点D作DF⊥x轴交BE于点F，由点B、E的坐标利用待定系数法即可求出直线BE的解析式，设D的坐标为（a，-a²+2a+3）（0＜a＜3），则点F的坐标为（a，-a+3），从而找出DF的长度，再根据三角形的面积结合S_{四边形AEDB}=S_△BDE+S_△AEB即可得出S_{四边形AEDB}=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$，利用二次函数的性质即可解决最值问题．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），
将B（0，3）代入y=a（x+1）（x-3），
3=-3a，解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）连接OD，如图1所示．
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴点D（1，4），
∴S_{四边形AEDB}=S_△AOB+S_△OBO+S_△OED=$\frac{1}{2}$×（1×3+3×1+3×4）=9．

（3）连接BE，过点D作DF⊥x轴交BE于点F，如图2所示．
设直线BE的解析式为y=kx+b，
将B（0，3）、E（3，0）代入y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=-x+3．
设D的坐标为（a，-a²+2a+3）（0＜a＜3），则点F的坐标为（a，-a+3），
∴DF=-a²+2a+3-（-a+3）=-a²+3a=-$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{9}{4}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$OE•DF=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$．
∴S_{四边形AEDB}=S_△BDE+S_△AEB=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{27}{8}$+6=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$．
∴当a=$\frac{3}{2}$时，S_{四边形AEDB}=取最大值，最大值为$\frac{75}{8}$．
故当点D在第一象限的抛物线上运动时，（2）中四边形AEDB的面积不是最大，四边形AEDB面积的最大值为$\frac{75}{8}$．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的最值、待定系数法求一次（二次）函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积结合S_{四边形AEDB}=S_△AOB+S_△OBO+S_△OED求出四边形AEDB的面积；（3）找出S_{四边形AEDB}=-$\frac{3}{2}$$（a-\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{75}{8}$，利用二次函数的性质解决最值问题．