题目内容
如图，抛物线y=ax2+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），连接BC．（1）求该抛物线的解析式和对称轴，并写出线段BC的中点坐标；
（2）将线段BC先向左平移2个单位长度，在向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，求此时点C1的坐标和m的值；
（3）若点P是该抛物线上的动点，点Q是该抛物线对称轴上的动点，当以P，Q，B，C四点为顶点的四边形是平行四边形时，求此时点P的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：代数几何综合题
分析：（1）把点A（-1，0）和点C（0，2）的坐标代入所给抛物线可得a、b的值，进而得到该抛物线的解析式和对称轴，再求出点B的坐标，根据中点坐标公式求出线段BC的中点坐标即可；
（2）根据平移的性质可知，点C的对应点C1的横坐标为-2，再代入抛物线可求点C1的坐标，进一步得到m的值；
（3）B、C为定点，可分BC为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点P的坐标．
（2）根据平移的性质可知，点C的对应点C1的横坐标为-2，再代入抛物线可求点C1的坐标，进一步得到m的值；
（3）B、C为定点，可分BC为平行四边形的一边及对角线两种情况探讨得到点P的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx-3a（a≠0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），
∴
，
解得
．
∴抛物线的解析式为y=-
x2+
x+2=-
（x-1）2+2
，
∴对称轴是x=1，
∵1+（1+1）=3，
∴B点坐标为（3，0），
∴BC的中点坐标为（1.5，1）；
（2）∵线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，
∴点C1的横坐标为-2，
当x=-2时，y=-
×（-2）2+
×（-2）+2=-
，
∴点C1的坐标为（-2，-
），
m=2-（-
）=5
；
（3）①若BC为平行四边形的一边，
∵BC的横坐标的差为3，
∵点Q的横坐标为1，
∴P的横坐标为4或-2，
∵P在抛物线上，
∴P的纵坐标为-3
，
∴P1（4，-3
），P2（-2，-3
）；
②若BC为平行四边形的对角线，
则BC与PQ互相平分，
∵点Q的横坐标为1，BC的中点坐标为（1.5，1），
∴P点的横坐标为1.5+（1.5-1）=2，
∴P的纵坐标为-
×22+
×2+2=2，
∴P3（2，2）．
综上所述，点P的坐标为：P1（4，-3
），P2（-2，-3
），P3（2，2）．
∴
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解得
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∴抛物线的解析式为y=-
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∴对称轴是x=1，
∵1+（1+1）=3，
∴B点坐标为（3，0），
∴BC的中点坐标为（1.5，1）；
（2）∵线段BC先向左平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，使点C的对应点C1恰好落在该抛物线上，
∴点C1的横坐标为-2，
当x=-2时，y=-
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∴点C1的坐标为（-2，-
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m=2-（-
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（3）①若BC为平行四边形的一边，
∵BC的横坐标的差为3，
∵点Q的横坐标为1，
∴P的横坐标为4或-2，
∵P在抛物线上，
∴P的纵坐标为-3
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∴P1（4，-3
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②若BC为平行四边形的对角线，
则BC与PQ互相平分，
∵点Q的横坐标为1，BC的中点坐标为（1.5，1），
∴P点的横坐标为1.5+（1.5-1）=2，
∴P的纵坐标为-
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∴P3（2，2）．
综上所述，点P的坐标为：P1（4，-3
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点评：考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，中点坐标公式，平移的性质，平行四边形的性质，注意分BC为平行四边形的一边或为对角线两种情况进行探讨．
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