Question

已知如图1，∠ABC，∠ACB的平分线交于I，根据下列条件分别求出∠BIC的度数；你能发现∠BIC与∠A的关系吗？并说明理由．

（1）变式一：如图2，点P是△ABC的中外两角∠DBC与∠ECB平分线的交点，试探索∠BPC与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）变式二：如图3，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，试探索∠A与∠D的数量关系，并说明理由．

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）先根据三角形内角和定理得到∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB，则2∠BIC=360°-2∠IBC-2∠ICB，再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，则2∠BIC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BIC=90°+

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∠A；
（2）根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP=

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2

（∠A+∠ABC）、∠PBC=

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2

（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠BPC=90°-

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∠A；
（3）根据BD为∠ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，可知，∠A=180°-∠AFB-∠ABF=，∠D=180°-∠DFC-∠FCD180°-∠DFC-

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2

（∠A+2∠ABF），两式联立可得2∠D=∠A．

解答：解：（1）∠BIC=90°+

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2

∠A；
理由如下：
在△BIC中，
∵∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB，
∴2∠BIC=360°-2∠IBC-2∠ICB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴2∠BIC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BIC=180°+∠A，
∴∠BIC=90°+

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2

∠A；

（2）∠BPC=90°-

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2

∠A．
理由如下：
∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°
∴∠BCP=

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2

（∠A+∠ABC）、∠PBC=

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2

（∠A+∠ACB），
由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-

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[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-

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2

（∠A+180°），
=90°-

1

2

∠A；

（3）∠D=

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2

∠A．
如图，

理由如下：
∵BD为∠ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点D，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=

1

2

（∠A+2∠ABD），∠AFB=∠DFC，
∵∠A=180°-∠AFB-∠ABF，
∴∠AFB+∠ABF=180°-∠A----①
又∵∠D=180°-∠DFC-∠FCD=180°-∠DFC-

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2

（∠A+2∠ABF），
即2∠D=360°-2∠DFC-∠A-2∠ABF=360°-2（∠DFC+∠ABF）-∠A----②，
把①代入②得2∠D=∠A，即∠D=

1

2

∠A．

点评：本题考查的是三角形内角和定理，涉及到三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，结合图形，灵活运用基本知识解决问题．