Question

17．已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．

（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．
（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE-PF的值．

Answer 1

分析 （1）因为ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．
（2）因为四边形ABCD是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F，所以可证明四边形PFOE是矩形，从而求出解．

解答 解：（1）是定值，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD．
∵PF⊥BD，
∴PF∥AC，
同理PE∥BD．
∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．
又∵∠PBF=45°，
∴PF=BF．
∴PE-PF=OF-BF=OB=acos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

点评 本题考查正方形的性质，正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角，四边相等，四个角都是直角，以及矩形的判定和性质解直角三角形等．