Question

5．将矩形纸片ABCD按下图方式折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，若S_△ABE：S_△BFE=4：5，则tan∠BFE=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 3
• D． $3\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，首先通过作辅助线证明CF=AE；根据S_△ABE：S_△BFE=4：5，求出线段BF、AE之间的数量关系；根据勾股定理求出DC的长度；利用直角三角形的边角关系求出tan∠BFE的值即可解决问题．

解答 解：如图，

连接BD交EF于点O；
由题意得点O为BD的中点；
连接AC；
∵四边形ABCD为矩形，
∴对角线AC、BD互相平分，
故AC必过点O，OA=OC；
∵AE∥BF，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE与△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}\\{AO=CO}\\{∠AOE=∠COF}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
∵S_△ABE：S_△BFE=4：5，S_△ABE=$\frac{1}{2}$AE•AB，S_△BFE=$\frac{1}{2}$BF•AB，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{4}{5}$；
设AE=4k，BF=5k，
则FC=AE=4k；
由题意得：DF=BF=5k；
由勾股定理得：
DC²=DF²-FC²=25k²-16k²=9k²，
∴DC=3k；
过点E作EG⊥BF，则四边形ABGE为矩形，
∴GE=AB=DC=3k，BG=AE=4k，
∴GF=4k-3k=k，
∴tan∠BFE=$\frac{EG}{FG}$=$\frac{3k}{k}$=3．
故答案为：3．

点评 此题考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，根据矩形的性质及翻折变换的特点找出图中线段之间的数量关系，借助直角三角形的边角关系即可解决问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．