Question

20．已知x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，求$\frac{{x}^{3}+x+1}{{x}^{3}}$的值．

Answer 1

分析 先求$\frac{1}{x}$的值，再计算1+$\frac{1}{x}$=x，然后将所求的代数式分子和分母先除以x，利用1+$\frac{1}{x}$=x进行化简得出结果．

解答 解：∵x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{2}{\sqrt{5}+1}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴1+$\frac{1}{x}$=1+$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$=x，
∴$\frac{{x}^{3}+x+1}{{x}^{3}}$=$\frac{{x}^{2}+1+\frac{1}{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x}{{x}^{2}}$=$\frac{x+1}{x}$=1+$\frac{1}{x}$=x=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

点评 本题是分式的计算，考查了分母有理化及代数式的化简问题，利用特殊方法进行变形，得出正确结果．