Question

11．已知x-$\frac{1}{x}$=1（x＞0），则x⁴-$\frac{1}{{x}^{4}}$=3$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据x-$\frac{1}{x}$=1（x＞0）可以求得$x+\frac{1}{x}$，${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}$的值，从而可以求得${x}^{4}-\frac{1}{{x}^{4}}$的值．

解答 解：∵x-$\frac{1}{x}$=1（x＞0），
∴$（x-\frac{1}{x}）^{2}=1$．
即${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}-2=1$．
∴${x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}=3$．
∵$（x+\frac{1}{x}）^{2}={x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}+2$，x＞0，
∴$（x+\frac{1}{x}）^{2}=5$．
∴$x+\frac{1}{x}=\sqrt{5}$．
∴${x}^{4}-\frac{1}{{x}^{4}}=（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）（{x}^{2}-\frac{1}{{x}^{2}}）$=$（{x}^{2}+\frac{1}{{x}^{2}}）（x+\frac{1}{x}）（x-\frac{1}{x}）$=3×$\sqrt{5}×1=3\sqrt{5}$．
故答案为：$3\sqrt{5}$．

点评 本题考查分式的混合运算，解题的关键是巧妙的利用平方差公式和完全平方公式求出所求问题需要的条件．