Question

（本题满分10分）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．

（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长．

Answer 1

（1）CD与⊙O相切；（2）．

【解析】

试题分析：（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；

（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB=，可计算出BC=，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB=，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可．

试题解析：（1）连结OC，如图，∵OC=OB，∴∠2=∠B，∵DQ=DC，∴∠1=∠Q，∵QP⊥PB，∴∠BPQ=90°，∴∠Q+∠B=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，∴OC⊥CD，而OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；

（2）连接AC，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，cosB=，而BP=6，AP=1，∴BC=，在Rt△BPQ中，cosB=，∴BQ==10，∴QC=BQ﹣BC==．

考点：切线的判定．