Question

如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°．
（1）求B，D之间的距离；
（2）求C，D之间的距离．

Answer 1

分析：（1）易证BD=AB，则很容易求解．
（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，把求CD的问题转化为求DO和CO的问题．

解答：解：（1）如图，由题意得，∠EAD=45°，∠FBD=30°，
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°+15°=60°．
∵AE∥BF∥CD，
∴∠FBC=∠EAC=60°．
∵∠FBD=30°
∴∠DBC=∠FBC-∠FBD=30°．（2分）
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB，
∴∠ADB=15°．
∴∠DAB=∠ADB．
∴△ABD为等腰三角形，
∴BD=AB=2．
即BD之间的距离为2km．（4分）

（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，
在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，
∴DO=2×sin60°=

3

，BO=2×cos60°=1．（6分）
在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=

3

3

，
∴CD=DO-CO=

3

-

3

3

=

2 3

3

（km）．
即C，D之间的距离

2 3

3

km．（8分）

点评：考查直角三角形、锐角三角函数等基础知识，这样的题目可让思维和能力不同的考生能有不同的表现．