Question

1．已知关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）-p²=0，p为实数．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）

Answer 1

分析 （1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△＞0即可；
（2）要使方程有整数解，那么x=$\frac{5±\sqrt{4{p}^{2}+1}}{2}$为整数即可，于是p可取0，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$时，方程有整数解．

解答 （1）证明：原方程可化为x²-5x+6-p²=0，
∵△=（-5）²-4×（6-p²）=4p²+1＞0，
∴不论p为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：原方程可化为x²-5x+6-p²=0，
∵方程有整数解，
∴x=$\frac{5±\sqrt{4{p}^{2}+1}}{2}$为整数即可，
∴p可取0，$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$时，方程有整数解．

点评 此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．