Question

12．如图，已知D为△ABC的边BC上一点，BC=DE，∠BAD=∠CAE，∠C=∠E，∠ADB=75°．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠CDE的度数；
（3）若AB=6，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据已知求得∠BAC=∠DAE，再由已知∠E=∠C，BC=DE，所以根据ASA可判定△ABC≌△ADE；
（2）关键全等三角形的性质得到AB=AD，∠ADE=∠B，由等腰三角形的性质得到∠B=∠ADB=75°，根据平角的定义即可得到结论；
（3）过D作DF⊥AB于F，根据三角形的内角和得到∠1=30°，求得DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=3，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DAC}\\{∠C=∠E}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；

（2）∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠ADE=∠B，
∴∠B=∠ADB=75°，
∴∠ADE=75°，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠ADE=30°；

（3）过D作DF⊥AB于F，
∵∠B=∠ADB=75°，
∴∠1=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•DF=$\frac{1}{2}×6×3$=9．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，平角的定义，三角形的面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，熟记含30°角的直角三角形的性质是解决（3）题的关键．