Question

9．如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案；
（2）根据相似三角形的判定与性质，可得$\frac{MB}{AM}$=$\frac{OB}{AP}$=$\frac{OM}{PB}$，根据解方程组，可得答案．

解答 （1）证明：∵PA切⊙O于点A，
∴∠MAP=90°，
∴∠P+∠M=90°．
∵∠COB=∠APB，
∴∠M+∠MOB=90°，
∴∠MBO=90°，即OB⊥PB，
∵PB经过直径的外端点，
∴PB是⊙O的切线；
（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM，
∴△OBM∽△APM，
∴$\frac{MB}{AM}$=$\frac{OB}{AP}$=$\frac{OM}{PM}$，
$\frac{MB}{MC+6}$=$\frac{1}{2}$  ①，
$\frac{MC+3}{MB+6}$=$\frac{1}{2}$   ②
联立①②得$\left\{\begin{array}{l}{2MB=MC+6}\\{2MC+6=MB+6}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{MC=2}\\{MB=4}\end{array}\right.$，
当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2．

点评 本题考查了切线的判定与性质，（1）利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；（2）利用了相似三角形的判定与性质，解方程组．