Question

7．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x，y），若过点p的直线与x轴夹角为60°时，则称该直线为点P的“相关直线”，
（1）已知点A的坐标为（0，2），求点A的“相关直线”的表达式；
（2）若点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$），点B的“相关直线”与直线y=2$\sqrt{3}$交于点C，求点C的坐标；
（3）⊙O的半径为$\sqrt{3}$，若⊙O上存在一点N，点N的“相关直线”与双曲线y=$\frac{3\sqrt{3}}{x}$（x＞0）相交于点M，请直接写出点M的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）如图1-1中，设点A的“相关直线”交x轴于C或C′，求出C、C′的坐标利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1-2中，由点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$），可得点B的“相关直线”为y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，求出y=2$\sqrt{3}$时的自变量的值即可解决问题；
（3）如图2中，当点N的“相关直线”与⊙O相切时，易知直线MN的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，直线M′N′的解析式为y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，求出M、M′的坐标即可解决问题；

解答 解：（1）如图1-1中，设点A的“相关直线”交x轴于C或C′，

在Rt△AOC中，OA=2，∠ACO=60°，
∴C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），同理可得C′（-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{\frac{2\sqrt{3}}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+2，同法可得直线AC′的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2．

（2）如图1-2中，∵若点B的坐标为（0，$\sqrt{3}$），
∴点B的“相关直线”为y=$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$或y=-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$，
∴点B的“相关直线”与直线y=2$\sqrt{3}$交于点C，
点C的坐标为（1，2$\sqrt{3}$）或（-1，2$\sqrt{3}$）．

（3）如图2中，

当点N的“相关直线”与⊙O相切时，易知直线MN的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，直线M′N′的解析式为y=$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$可得M（1，3$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x-2\sqrt{3}}\\{y=\frac{3\sqrt{3}}{x}}\end{array}\right.$可得M′（3，$\sqrt{3}$），
观察图象可知，满足条件的点M的横坐标的取值范围1$≤\\;x≤$x≤3．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、直角三角形的30度角的性质、点P的“相关直线”的定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数，利用方程组确定函数的交点坐标，属于中考压轴题．