Question

14．如图，?ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）连接DE、BF，若BD⊥EF，试探究四边形EBDF的形状，并对结论给予证明．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，再利用等式的性质可得EO=FO，然后再利用SAS定理判定△BOE≌△DOF即可；
（2）根据BO=DO，FO=EO可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形EBDF为菱形．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-FO，
∴EO=FO，
在△BOE和△DOF中$\left\{\begin{array}{l}{BO=DO}\\{∠BOE=∠DOF}\\{EO=FO}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（SAS）；

（2）四边形EBDF为菱形，等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握
理由：∵BO=DO，FO=EO，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BD⊥EF，
∴四边形EBDF为菱形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分．对角线互相平分的四边形是平行四边形．