Question

如图，⊙P过O、A（0，6）、C（2，0），半径PB⊥PA，双曲线y=

k

x

(x＜0)恰好经过B点，则k的值是

 

．

Answer 1

分析：结合已知，设B的坐标为（x，

k

x

）可根据点O、A、C的坐标得出圆心P的坐标，和PA的长，便可得出圆P所在的圆的方程；同时可得出直线PA的斜率，再根据两直线的垂直的斜率关系，可得出直线PB的斜率，利用两点确定直线的斜率，两方程联立即可得出k的值；

解答：解：设B（x，

k

x

），结合题意，
O（0，0）、A（0，6）、C（2，0），
即P（1，3），
所以PA=

10

，
过点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，过点B作BG⊥PM于点G，
由已知可得△ANP≌△PGB，
∴BG=AN=6-3=3，
∴BG-PN=3-1=2，
∴点B的横坐标为：-2，
∴PG=

PB2-BG2

=1，
∴GM=3-1=2，
∴点P（-2，2），
∴k=-4．
故答案为：-4．

点评：本题主要考查了反比例函数的综合应用和圆的方程的应用，注意两直线垂直，斜率互为负倒数．