Question

13．在某市开展的创建文明城市的活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙25m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为xm，花园的面积为ym²．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据矩形的性质，由花园的BC边长为x（m），可得AB=$\frac{40-x}{2}$，然后根据矩形面积的求解方法，即可求得y与x之间的函数关系式，又由墙长15m，即可求得自变量x的范围．
（2）根据（1）中的二次函数的增减性，可知当x＜25时，y随x的增大而增大，故可得当x=20时，y最大，将其代入函数解析式，即可求得最大面积．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵BC=xm，AB+BC+CD=40m，
∴AB=$\frac{40-x}{2}$，
∴花园的面积为：y=x•$\frac{40-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x²+20x（0＜x≤25）；
∴y与x之间的函数关系式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+20x（0＜x≤25）；

（2）∵y=-$\frac{1}{2}$x²+20x=-$\frac{1}{2}$（x-20）²+200，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x＜25时，y随x的增大而增大，
∴当x=20时，y最大，最大值y=200m²．
∴当x取20时花园的面积最大，最大面积为200m²．

点评 此题考查了二次函数的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，然后根据二次函数的性质求解．