Question

7．如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C、D，过点B任作一条直线分别交⊙O₁和⊙O₂于点E、F．求证：
（1）AC、AD分别是⊙O₁和⊙O₂的直径；
（2）AE与AF的比值是一个常数．

Answer 1

分析 （1）由90°的圆周角所对的弦为直径，即可解决问题．
（2）观察图形，可以发现△ACD∽△AEF，借助相似三角形的性质：对应边成比例即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，∵CD⊥AB，
∴∠ABC=∠ABD=90°，
∴AC、AD分别是⊙O₁和⊙O₂的直径．
（2）设⊙O₁、⊙O₂的半径分别为λ、μ；
∵∠C=∠E，∠D=∠F，
∴△ACD∽△AEF，
∴$\frac{AC}{AE}=\frac{AD}{AF}$，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AC}{AD}=\frac{2λ}{2μ}=\frac{λ}{μ}$，
即AE与AF的比值是一个常数．

点评 该题主要考查了相交两圆的性质、相似三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．