Question

如图：抛物线y=x²+bx+c交x轴于A、B，直线y=x+2过点A，交y轴于C，交抛物线于E，且E的横坐标为3，△ABC的外接圆⊙N交y轴于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求圆心N的坐标；
（3）点P为AE上方的抛物线上一点，若△PAE∽△ABC，求点P的坐标，并判定直线PA与⊙N的位置关系．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据题意得出A，E点坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）首先利用OC=2，OB=4，求出NC=NB=

10

，进而得出GN=1，即可得出N点坐标；
（3）首先求出AP的解析式，进而得出P点坐标，再利用△PAE∽△ABC，得出∠AKO=∠NAG，得出∠KAO+∠NAG=90°，进而得出答案．

解答：解：（1）∵直线y=x+2过点A，点E的横坐标为3，
∴A（-2，0）E（3，5），
∴

0=-4-2b+c 5=-9+3b+c

，
∴

b=2 c=8

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+8；

（2）如图1，由题意可知C（0，2）B（4，0），
∴OA=OC=2，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠CNB=90°，
∵OC=2，OB=4，
∴NC=NB=

10

，
作NG⊥AB，∴AG=GB=3，
∴GN=1，
∴N（1，-1）；

（3）若△PAE∽△ABC，
∴∠PAE=∠ABC，
∴tan∠PAE=tan∠ABC=

1

2

，
如图2，作KH⊥AE于H，设KH=a，
∴CH=a，AH=2a，
∴AC=a=2

2

，
∴CK=

2

a=4，
∴OK=6，
∴K（0，6），
设直线AP的解析式为y=kx+b，
则 

6=b 0=-k+b

解得：

k=3 b=6

∴直线AP的解析式为y=3x+6，
∴

y=3x+6 y=-x2+2x+8

，
∴

x=1 y=9

或

x=-2 y=0

（舍去），
∴P（1，9）
∵BC=2

5

，AB=6，AP=3

10

，AE=5

2

，
∴

BC

AE

=

AB

AP

，
∴△PAE∽△ABC，
∵tan∠AKO=tan∠NAG=

1

3

，
∴∠AKO=∠NAG，
又∵∠AKO+∠KAO=90°，
∴∠KAO+∠NAG=90°，
∴AP⊥AN，
∴直线PA与⊙N相切．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及切线的判定和图象上点的坐标性质、相似三角形的判定与性质等知识，利用数形结合得出∠AKO=∠NAG是解题关键．