Question

10．如图，已知面积为8的正方形ABCD内接于⊙O，求⊙O的内接正六边形AEFCGH的面积．

Answer 1

分析 连接OC、OD、OG，作OM⊥CG于M，由正方形和正六边形的性质得出CD²=8，△OCD是等腰直角三角形，△COG是等边三角形，得出CD=2$\sqrt{2}$，CG=OC，由勾股定理得出OC═2，OM=$\sqrt{3}$，即可求出正六边形AEFCGH的面积．

解答 解：连接OC、OD、OG，作OM⊥CG于M，如图所示：
根据题意得：CD²=8，△OCD是等腰直角三角形，△COG是等边三角形，
∴CD=2$\sqrt{2}$，CG=OC，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=2，
∴CG=2，CM=1，
∴OM=$\sqrt{3}$，
∴正六边形AEFCGH的面积=6×$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正多边形和圆、正方形的性质、正六边形的性质、等腰直角三角形和等边三角形的判定与性质；熟练掌握正方形和正六边形的性质，由正方形的面积求出圆的半径是解决问题的关键．