题目内容

2．△ABC，直线DE交AB于D，交AC于E，将△ADE沿DE折叠，使A落在同一平面上的A′处，∠A的两边与BD、CE的夹角分别记为∠1，∠2
如图①，当A落在四边形BDEC内部时，探索∠A与∠1+∠2之间的数量关系，并说明理由．
如图②，当A′落在BC下方时，请直接写出∠A与∠1+∠2之间的数量关系．
如图③，当A′落在AC右侧时，探索∠A与∠1，∠2之间的数量关系，并说明理由．

分析 （1）根据图①中∠A与∠DA′E是相等的，再结合四边形的内角和及互补角的性质可得结论2∠A=∠1+∠2；
（2）与（1）的证明过程完全相同；
（3）根据图③中由于折叠∠A与∠A′是相等的，再两次运用三角形外角的性质可得结论2∠A=∠1-∠2．

解答 解：（1）2∠A=∠1+∠2．理由如下：
如图①，∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′=360°，
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2，
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2；

（2）2∠A=∠1+∠2．
理由：∵∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′=360°，
又∵∠1+∠ADA′+∠2+∠AEA′=360°，
∴∠A+∠A′=∠1+∠2，
又∵∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1+∠2；

（3）2∠A=∠1-∠2．理由如下：
如图③，设DA′交AC于点F．
∵∠1=∠A+∠DFA，∠DFA=∠A′+∠2，
∴∠1=∠A+∠A′+∠2，
∴∠A+∠A′=∠1-∠2，
∵△A′DE是由△ADE沿直线DE折叠而得，
∴∠A=∠A′，
∴2∠A=∠1-∠2．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

练习册系列答案
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∵∠ABC=∠ACB   （已知）
∴∠DBC=∠ECB．
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