Question

如图，直线MN经过正方形ABCD的一个顶点A，过点B作BE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，当直线MN经过点D（如图1）时，易证：AF+CF=2BE．

当直线MN不经过点D时，线段AF、CF、BE又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择图（2）、图（3）中的一种情况给予证明．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：过点C作CH⊥BE于H，根据同角的余角相等求出∠ABE=∠BCH，根据正方形的性质可得AB=BC，再利用“角角边”证明△ABE和△CBH全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BH，BE=CH，再求出四边形EFCH是矩形，根据矩形的对边相等可得CF=EH，EF=CH，然后根据两个图形分别列出三条线段之间的关系即可．

解答：解：如图，过点C作CH⊥BE于H，
∵∠ABE+∠CBE=∠ABC=90°，
∠BCH+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠BCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
在△ABE和△CBH中，

∠ABE=∠BCH ∠AEB=∠BHC=90° AB=BC

，
∴△ABE≌△CBH（AAS），
∴AE=BH，BE=CH，
又∵BE⊥MN，CF⊥MN，
∴四边形EFCH是矩形，
∴CF=EH，EF=CH，
图（2）中，AF+CF=AE+EF+HE=BH+CH+HE=BE+BE=2BE，
即AF+CF=2BE；
图（3）中，AF-CF=AE+EF-CF=BH+CH-EH=BE+BE=2BE，
即AF-CF=2BE．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造成全等三角形和矩形是解题的关键，也是本题的难点．