题目内容
已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm，BC = 6 cm，EF = 9 cm．
如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
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解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，
∴AP = AQ.
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，
∴∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC.
∴CE = CQ.
由题意知：CE = t，BP =2 t，
∴CQ = t.
∴AQ = 8－t.
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = 10 cm .
则AP = 10－2 t.
∴10－2 t = 8－t.
解得：t = 2.
答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上.
（2）过P作
，交BE于M，
∴
.
在Rt△ABC和Rt△BPM中，
，
∴
. ∴PM = 
.
∵BC = 6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.
∴y = S△ABC－S△BPE =
－
= 
－
=
= 
.
∵
，∴抛物线开口向上.
∴当t = 3时，y最小=
.
答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2.
（3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.
过P作
，交AC于N，
∴
.
∵
，∴△PAN ∽△BAC.
∴
.
∴
.
∴
，
.
∵NQ = AQ－AN，
∴NQ = 8－t－(
) = 
．
∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.
∵∠FQC = ∠PQN，
∴△QCF∽△QNP .
∴
. ∴
.
∵
∴
解得：t = 1.
答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.
