Question

已知：如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合(P不与点D，C重合)， MN为折痕，点M，N分别在边BC， AD上，连接AP，MP，AM， AP与MN相交于点F．⊙O过点M，C，P．

(1)请你在图1中作出⊙O(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)与 是否相等？请你说明理由；

(3)随着点P的运动，若⊙O与AM相切于点M时，⊙O又与AD相切于点H．

设AB为4，请你通过计算，画出这时的图形．(图2，3供参考)  

图1                         图2                    图3

Answer 1

解：(1)如图；          

 

(2)与不相等．

 假设，则由相似三角形的性质，得MN∥DC．   

∵∠D=90°，∴DC⊥AD，∴MN⊥AD．

∵据题意得，A与P关于MN对称，∴MN⊥AP．

∵据题意，P与D不重合，

∴这与“过一点（A）只能作一条直线与已知直线（MN）垂直”矛盾．  

∴假设不成立．

∴不成立．  

 (3)∵AM是⊙O的切线，∴∠AMP=90°，

∴∠CMP＋∠AMB=90°．

∵∠BAM＋∠AMB=90°，∴∠CMP=∠BAM．

∵MN垂直平分AP，∴MA=MP，

∵∠B=∠C=90°， ∴△ABM≌△MCD．

∴MC=AB=4， 设PD=x，则CP=4－x，

∴BM=PC=4－x．

连结HO并延长交BC于J．

∵AD是⊙O的切线，∴∠JHD=90°．

∴矩形HDCJ．

∴OJ∥CP， ∴△MOJ∽△MPC，

∴OJ:CP=MO:MP=1:2，

∴OJ=(4－x)，OH=MP=4－OJ=(4＋x)．

∵MC²= MP²－CP²，∴(4＋x)²－(4－x)²=16．

解得:x=1．即PD=1，PC=3，

∴BC=BM+MC=PC+AB=3+4=7．

由此画图(图形大致能示意即可)．