Question

18．如图，已知等边△ABC中，∠B、∠C的平分线相交于点O，E，F为线段BC上两点，且BE=OE，CF=OF，连接OE、OF，试说明△OEF是等边三角形．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由角平分线得出∠OBC=∠OCB=30°，求出∠BOC=120°，由等腰三角形的性质得出∠BOE=∠OBC=30°，∠COF=∠OCB=30°，求出∠OEF=∠OFE=∠EOF=60°，即可得出结论．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∵BE=OE，CF=OF，
∴∠BOE=∠OBC=30°，∠COF=∠OCB=30°，
∴∠EOF=120°-30°-30°=60°，∠OEF=∠OBC+∠BOE=60°，
同理：∠OFE=60°，
∴∠OEF=∠OFE=∠EOF，
∴△OEF是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线、三角形内角和定理；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证出∠OEF=∠OFE=∠EOF是解题的关键．