题目内容

如图所示，在一个边长为1的大正方形中有两个小正方形，他们的面积分别为m、n．猜猜看，是m大还是n大？并求 $数学公式$ 的值？

解：如图所示，

（1）因为S_△BEF=S_△AEF，S_△BEG=S_△CEG，
所以S1= $\text{[math]}$ ×S△_ABC，
又因S_△JHK=S_△JAK S_△HIJ=S_△CIH，
则S2= $\text{[math]}$ ×梯形HIJK，
又因S_△ABC=S_△ADC＞S_梯形HIJK，
所以S1＞S2，即n＞m；

（2）面积为n的正方形旁边是直角三角形，因为其斜边是正方形对角线，
所以那个角是45度，所以它是个等腰直角三角形，
可得此正方形的边长为大正方形边长的一半，
设大正方形的边长是1，则此正方形边长为 $\text{[math]}$ ，则n= $\text{[math]}$ ；

同理面积为m的正方形两边也是等腰直角三角形，
所以此正方形边长为大正方形对角线长的 $\text{[math]}$ ，
即此正方形边长为 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ，所以m= $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
答：n的面积比m的大， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
分析：如图所示，分别得出两个正方形的面积与大正方形的面积的关系，即可比较出它们的大小；设出大正方形的边长，求出两个小正方形的边长，进而利用正方形的面积公式即可求解．
点评：此题有些难度，需要灵活利用正方形的面积公式，关键是得出它们的面积与正方形的面积的关系．